问题描述

YL中学有一位叫做tty的土豪，他很有钱，而且实力非凡，才高八斗，玉树临风，德才兼备，雄才大略，满腹经纶(此处省略1000字)，（还是个大逗比）。因此有很多妹子追求她，但是他都看丌上，他一心一意的爱着”唐诗“的好朋友**（具体叫什么请自己脑补，我丌能说，丌然会被打。。。。。。）。”唐诗“的好朋友**眼界也很高，而且很喜欢数学，所以出了一道math题目，如果tty能够回答出来的话就可以得到 ** 的爱。具体题目是这样的：求出

\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M\sum_{k=0}^{k<m}\lfloor\frac{nk+x}{m}\rfloor

的值。其中 $x$ 是实数，其他的都是整数。令人头疼的是，tty正好数学不好啊，为了他的终生幸福，所以他来求助了你，请你帮他算出结果。

输入文件

输入仅有一行。

第一行仅有两个正整数N，M和一个实数x。

输出文件

输出共1行，由亍结果过大，所以请输出上式对998244353取模的结果。

样例输入

2 3 1

样例输出

样例解释

当n=1,m=1时，sum=1 当n=1,m=2时，sum=1 当n=1,m=3时，sum=1 当n=2,m=1时，sum=1 当n=2,m=2时，sum=1 当n=2,m=3时，sum=2 所以答案是7 复制代码

数据规模

对于20%的数捤：N，M<=100

对于50%的数捤：N，M<=2000

对于100%的数捤：N，M<=500000，0<x<=100000，x精确到小数点后8位小数。

说实话，我其实是很不想帮这个忙的，但既然人家都求助了，我也不好拒绝（强装镇定）

题解

先解决一个简单粗暴的数学问题

对于给定的 $n$ , $m$ , $x$ ,求出

\sum_{k=0}^{k<m}\lfloor\frac{nk+x}{m}\rfloor

转换一下

ans=\sum_{k=0}^{k<m}\lfloor\frac{nk\mod m+x}{m}\rfloor+\frac{nk}{m}-\frac{nk \mod m}{m}

\sum_{k=0}^{k<m}\frac{kn}{m}=\frac{(0+(m-1)n)m}{2m}=\frac{n(m-1)}{2}

然后有一个很玄学的结论，回头看了证明再来证明

结论：对于n,m:

0\mod m,n\mod m,2n\mod m,...,(m-1)n\mod m

若有

则这个数列为

的d次重复

因此，原式中

\sum_{k=0}^{k<m}\lfloor\frac{nk\mod m+x}{m}\rfloor=d\cdot\sum_{k=0}^{k<\frac{m}{d}}\lfloor\frac{kd+x}{m}\rfloor

\sum_{k=0}^{k<m}\lfloor\frac{nk\mod m+x}{m}\rfloor=d\cdot\sum_{k=0}^{k<\frac{m}{d}}\lfloor\frac{\frac{kd+x}{d}}{\frac{m}{d}}\rfloor=d\cdot\sum_{k=0}^{k<\frac{m}{d}}\lfloor\frac{k+\frac{x}{d}}{\frac{m}{d}}\rfloor

易得有

\sum_{k=0}^{k<A}\lfloor\frac{k+x}{A}\rfloor=\lfloor x\rfloor

使其中的 $A=\frac{m}{d}$ , $x=\frac{x}{d}$ ，则易得

d\cdot\sum_{k=0}^{k<\frac{m}{d}}\lfloor\frac{k+\frac{x}{d}}{\frac{m}{d}}\rfloor=d\lfloor\frac{x}{d}\rfloor

而最后一部分

\sum_{k=0}^{k<m}\frac{nk \mod m}{m}=d\cdot\frac{(0+m-d)\frac{m}{d}}{2m}=\frac{m-d}{2}

所以结果就是

ans=d\lfloor\frac{x}{d}\rfloor+\frac{(n-1)(m-1)}{2}+\frac{d}{2}

重新回到题目，就变成了

\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^Md\lfloor\frac{x}{d}\rfloor+\frac{(n-1)(m-1)}{2}+\frac{d}{2}

其中 $d=gcd(n,m)$

先把好求的求了

\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M\frac{(n-1)(m-1)}{2}=\frac{(0+N-1)N(0+M-1)M}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{(N-1)(M-1)NM}{8}

然后比较不好求的实际上我们只需要求出每一个 $gcd(n,m)=d$ 的个数

设 $G(d)$ 为 $d|gcd(n,m)$ 的数对 $(n,m)$ 的个数

设 $g(d)$ 为 $d=gcd(n,m)$ 的数对 $(n,m)$ 的个数

G(d)=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\cdot\lfloor\frac{m}{k}\rfloor=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}{k}\rfloor}g(d)

g(d)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}{k}\rfloor}G(id)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}{k}\rfloor}\mu(i)\cdot\lfloor\frac{n}{id}\rfloor\cdot\lfloor\frac{m}{id}\rfloor

然后就可以快速求出结果了